logistique 方程式
$ \frac{{\rm d}N}{{\rm d}t}=rN\left(1-\frac N K\right)
$ Nは個體數
$ tは時閒
$ \frac r Kは種內競爭係數
解は logistique 函數$ N=\frac K{1+\left(\frac K{N_0-1}\right)e^{-rt}} 離散
$ x_{n+1}=ax_n(1-x_n),$ 0\le a\le 4,$ 0\le x_0\le 1
logistique 函數$ {\rm expit}(x):=\frac 1{1+e^{-x}}=\frac 1 2\left(1+\tanh\left(\frac x 2\right)\right),$ \varsigma_1(x) $ \frac {{\rm d}~{\rm expit}(x)}{{\rm d}x}={\rm expit}(x)(1-{\rm expit}(x))
$ \frac{{\rm d}N}{{\rm d}t}=mN
解$ N=N_0e^{mt}
離散 Malthusian 模型
$ P_{t+1}=mP_t
解$ P_t=P_0m^t
r | K
選擇 (淘汰)
r 選擇 (r 淘汰)
K 選擇 (K 淘汰)
戰略
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競爭戰略 (C) (competition strategy)
stress 少、攪亂少
競爭戰略をとる植物は、stress が小さく攪亂も小さい場所で生育し、他種との競爭に勝利して旺盛に繁殖する。その戰略をとる種は、生長速度が速く、種子や地下茎などの繁殖器官の生產力が高く、高い表現型可塑性を示すといった、他種との競爭に強い性質を持ってゐる。
stress 耐性戰略 (S) (stress tolerance strategy)
stress 多、攪亂少
stress 耐性戰略をとる植物種は、乾燥などのストレスが強く攪亂が小さい場所に生育してゐる。これらの種は生長が遲く、壽命の長い葉を持ち、榮養分を多く貯藏してゐる。一般に表現型可塑性はあまり示さない。stress 耐性戰略をとる植物は、環境 stress に反應して生理学的な變化を起こすことで、stress への耐性を高めてゐる。そのやうな種は高山や乾燥した土地、日がほとんど當たらない環境、榮養分が乏しい土地、pH が高い土地などで生育してゐる。
攪亂依存戰略 (R) (ruderal strategy)
stress 少、攪亂多
攪亂が大きく stress が小さい場所では、攪亂依存戰略を取る植物が有利になる。攪亂依存戰略をとる植物は、生長が速く、短期閒のうちに生活環を完了し、非常に多くの種子を生產する。これは雜草的な特徵であり、攪亂が起きたばかりの土地でこの戰略を取る植物がよく見られる。一年生植物に多い戰略である。
$ \frac{{\rm d}N_1}{{\rm d}t}=r_1 N_1\left(1-\frac{N_1+\alpha_{1,2}N_2}{K_1}\right),$ \frac{{\rm d}N_2}{{\rm d}t}=r_2 N_2\left(1-\frac{N_2+\alpha_{2,1}N_1}{K_2}\right)
競爭係數$ \alpha_{1,2},$ \alpha_{2,1}
$ \frac{{\rm d}N_1}{{\rm d}t}=N_1(r_1-\beta_1 N_1-\gamma_{1,2}N_2),$ \frac{{\rm d}N_2}{{\rm d}t}=N_2(r_2-\beta_2 N_2-\gamma_{2,1}N_1)
種內競爭係數$ \beta_1,$ \beta_2
種閒競爭係數$ \gamma_{1,2},$ \gamma_{2,1}
$ \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=\alpha x-\beta xy,$ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}=\gamma xy-\delta y
logit 函數 (對數 odds)$ {\rm logit}(x):=\log\left(\frac x{1-x}\right)={\rm expit}^{-1}(x)
確率密度函數$ f(x|\mu,s)=\frac{e^{-\frac{x-\mu}s}}{s(1+e^{-\frac{x-\mu}s})^2}
累積分布函數$ F(x|\mu,s)=\frac 1{1+e^{-\frac{x-\mu}s}}={\rm expit}\left(\frac{x-\mu}s\right)=\frac 1 2\left(1+\tanh\left(\frac{x-\mu}{2s}\right)\right)